Hogyan lehet megtudni a távoli égitestek tömegét?

 

"Vitézek mi lehet e széles föld felett ..."

időszámításunk előtt 496 évvel született Szofoklész, a legnagyobb görög tragédiairó. Elámult azon, hogy milyen nagy dolgokra képes az ember: vet, arat, hajót épít, az állatokat eke elé fogja, a tűz erejével formálja a bronzot. Mindez annyira megihlette hogy a Földön található dolgok között a legcsodálatosabbnak az embert nevezte.
Azóta két és fél ezer év múlt el.
Milyen dalt kellene írnia ma, ha látná elektromos erőműveinket, éjszaka is nappali fényben ragyogó városainkat, a mozit, a televíziót!? Hogy ezek nagyszerűségét észrevegyük, ahhoz nem kell különös tudomány.
De vannak felfedezések, mérések, eredmények, amelyek nem ilyen feltűnők, de még csodálatosabbak, még jobban bizonyítják az emberi szellem nagyságát.
Nem tudom, mit szólnánk hozzá, ha azt a megbízást kapnánk, hogy mérjük meg a Föld kerületét vagy határozzuk meg, hogy milyen messzire van a Hold. De mindezt a saját erőnkből, nem szabad kérdezni senkitől semmit.
Pedig ezeket a méréseket már több mint kétezer évvel ezelőtt elvégezték, meglepő pontossággal. időszámításunk előtti III. században Eratoszthenész 1%-on belüli pontossággal megmérte a Földgömb kerületét. A pontos érték 40 008 kilométer. Az Ő eredménye pedig 39690 kilométer volt.
Ma már tudjuk, hogy a Hold 60 földsugár távolságra van a Földtől. Kétezer évvel ezelőtt ezt a távolságot 56 földsugárnak mérték. Ez is bámulatunkra méltó pontosság.
De ha valamelyik ókori tudósnak azt mondták volna hogy eljön az idő, amikor azt is meg tudjuk majd mérni, hegy hányszor akkora a Föld, a Nap, vagy a távoli csillagok tömege, mint a kezünkben tartott kődarabé (mondjuk egy kilogrammé) - ezen alighanem elcsodálkozott volna.
Igaz kétezer évnek kellett elmúlnia amíg idáig fejlődött a tudomány. Sok mindenről hallunk, olvasunk, sok mindent látunk a moziban is. De nem hiszem, hogy ezzel a kérdéssel már találkoztak volna: hogyan lehet megtudni, hogy hány kilogramm a Föld, a Hold tömege?
A Föld tömegének megállapítása nagyon egyszerű. Eddigi tudásunk teljesen elegendő ahhoz, hogy bárki önerejéből kiszámítsa kétperces gondolkodás közben.
Íme, bebizonyítjuk.

 

Kiszámítjuk a Föld tömegét

Mint mindenkor, most is abból indulunk ki, amit tudunk, és gondolkodással jutunk el ahhoz, amit eddig nem tudtunk.
Emlékezzünk vissza a tömegvonzásra vonatkozó alapesetre. A Föld tömegét ebből a tapasztalati tényből számítjuk ki:
100 kilogrammos gömb egy másik 100 kg-os gömböt 1 méter távolságból kb. 1 tízezred grammsúly (0,1 milligrammsúly) erővel vonz.
Ámde az ismeretlen tömegű Földgömb azt a 100 kilogrammos gömböt nem tízezred gramm, hanem 100 kilogrammsúly erővel vonzza. Ebből ki lehet következtetni, hogy mekkorának kell lennie a Föld tömegének, hogy kifejthesse a 100 kgsúly vonzóerőt (ábra).
Induljunk el az egyszerű következtetés útján.
1. Először is számítsuk ki azt, hogy mekkora tömeget kellene attól a 100 kg-os golyótól 1 méter távolságra helyezni, hogy a vonzóerő 100 kilogrammsúly legyen.

Ezt a 100 kgsúly erőt számítsuk át milligrammsúlyokra.

100kg = 100.000 gramm = 100.000.000 milligramm.

Ha a 100 kg-os golyót 1 méter távolságból egy másik 100 kg-os golyó vonzza, akkor a vonzóerő 0,1 milligramm. De mi azt akar juk, hogy a vonzóerő 100.000.000 milligramm legyen. Ezt az 1000 milliószor nagyobb vonzóerőt 1 méter távolságból 1000 milliószor nagyobb tömeg fejti ki. Tehát a keresett tömeg 1000 milliószor 100 kg = 100.000 millió kg.
Kérdésünkre tehát ez a felelet:
a 100kg tömegű golyótól 1 méter távolságra egy másik de 100.000 millió kilogramm tömegű golyót kellene elhelyezni, hogy 100 kgsúly erővel vonzzák egymást.

A Föld tömegét úgy tudjuk meg, hogy kiszámítjuk azt a tömeget, amely 100 kg-ot 100 kgsúly erővel vonz földsugámyi távolságból.

2. De a mi esetünkben ez a másik gömb a Földgömb. A Földgömb úgy vonz, mintha egész tömege a középpontjában volna egyesítve.
Tehát az a 100 kgsúlynyi vonzást kifejtő golyó középpontja nem 1 méternyire kell hogy legyen az első golyótól hanem olyan messzire, mint a Föld sugara, kereken 6.300 kilométerre, 6.300.000 méternyire.
Azt a második vonzó tömeget tehát nem 1 méternyire kell elhelyezni az első tömegtől, hanem 6.300.000 méternyire, de úgy, hogy a vonzóerő nagysága változatlan maradjon.
Tudjuk, hogy ha azt akarjuk, hogy a vonzóerő változatlan maradjon, akkor 2-szer, 3-szor nagyobb távolságban 4-szer, 9-szer nagyobb tömegnek kell hatnia.
A mi esetünkben a távolság 1 méter helyett 6.300.000 méter lett. Ezért, hogy mégis megmaradjon az a 100 kilogrammsúlynyi vonzóerő,
6.300.000 . 6.300.000-szer akkora tömegnek kell hatnia, mint amennyit előbb kiszámítottunk.
Az előbbi lépés végén kiszámított tömeg 100.000 millió kg. Ezt még meg kell szorozni 6.300.000-rel. Az eredményt újra meg kell szorozni 6.300.000-rel. Akkor megtudjuk a Föld tömegét kilogrammokban.
Tehát a Föld tömege

100.000.000.000 . 6.300.000 . 6.300.000 kg = 3.969.000.000.000.000.000.000.000 kg,
kereken 4.000.000.000.000.000.000.000.000 kg.

Szóval a Föld tömegét kilogrammokban számításunk szerint olyan szám fejezi ki, amely 4-gyel kezdődik, és utána 24 zérus következik, vagyis 25 jegyű szám.
Ez teljesen elegendő ahhoz, hogy tájékoztasson bennünket a Föld tömegének nagyságáról.
Ha pontosabb adatokat használnánk, akkor a pontosabb eredmény szerint a 24 zérus előtt nem a 4-es számjegy állna, hanem a 6-os.
A Föld tömege pontosabban

 

Mekkora a Föld átlagos sűrűsége

Az előbbi szám egyszerűen elképzelhetetlen számunkra. De azonnal igen elképzelhető és hasznos összehasonlító adathoz jutunk, ha ezt a számot elosztjuk a Földgömb literekben kifejezhető köbtartalmával. Akkor megtudjuk azt, hogyha a Földet szépen szétmorzsolnánk egyenletes sűrűségre, és ebből az anyagból egy Iiternyit felmerítenénk, az hány kilogramm lenne.

Ha a számítást valóban elvégeznénk, azt találnánk hogy a Földgömb összemorzsolt anyagából 1 liternyinek a tömege 5,5 kg. Tehát
a Föld anyagából 1 liter átlagosan 5,5 kilogrammot nyom.
De 1 liter víz súlya 1 kilogramm.
Ezért a Föld anyagának átlagos fajsúlya (és sűrűsége is) majdnem 6-szor akkora, mint a vízé.
A vas sűrűsége körülbel 8. Mivel a Föld felszínét alkotó anyagok, a kövek, a talaj átlagos sűrűsége csak kb. 2,5 - 3, ezért a Föld belsejében jóval sűrűbb anyagoknak kell lenniök, hogy kiadódjék az átlagos 5,5 sűrűség.

 

Mekkora a többi égitest tömege?

A Föld ás a többi égitest tömegét aligha célszerű kilogrammokban vagy tonnákban mérni, mert olyan roppant nagy számokhoz jutunk, amelyek elveszítik szemléletességüket.
Ezért egyszerűen a Föld tömegét egységnek tekintjük, ás hozzá hasonIítjuk a többi égitestnek, például a Napnak, a Holdnak a tömegét.
A Nap tömege 333 000-szer akkora, mint a Föld tömege.
A Mars bolygó tömege a Föld tömegének kilenced része.
A Hold tömege 81-szer kisebb, mint a Föld tömege.
A Föld tömegét aránylag egyszerű módon tudtuk kiszámítani.
De hogyan lehet megtudni a Nap tömegét?
Ugyanúgy, mint ahogyan a Föld tömegét kiszámítottuk. Gondoljuk át röviden hogy milyen utat követtünk, hogy ezt alkalmazhassuk a Napra is.
A Föld tömegének kiszámításakor a tömegvonzásra vonatkozó alapesetünkből indultunk kí. Csak azt kellett kikövetkeztetni, hogy mekkora tömeget kell a Föld középpontjába képzelni, hogy ez a tömeg 6.300 kilométer távolságból 100 kgsúlynyi erőt gyakoroljon a (Föld felszínén levő) 100 kg tömegre.
Tudjuk, hogy a Nap 150 millió kilométernyire van a Földtől. Ha valaki megmondaná nekünk azt, hogy a Nap mekkora erővel vonzza a Föld távolságában levő 100 kg-os testet, akkor a számítást ugyanúgy végezhetnénk, mint előbb. Alapesetünkből kiindulva következtetnénk arra, hogy 150 millió kilométer távolságban mekkora tömegnek kell lennie, hogy ekkora vonzóerővel hasson.
De ki súgja meg nekünk azt, hogy a Nap mekkora erővel vonzza a tőle 150 millió kilométerre levő 100 kilogrammos testet?
Magunk is könnyen kitalálhatjuk.
A Nap akkora erővel vonzza azt a testet, mint amekkora erővel arra a testre a Nap körüli keringéséből eredő röpítőerő hat.
Ámde ennek a röpítőerőnek a nagyságát már ki tudjuk számítani, hiszen mindent ismerünk, ami szükséges. Ismerjük a pálya sugarát
(150 millió km), ismerjük egy körülforgás idejét a Nap körül: 365 nap.
- Ki tudjuk tehát számítani azt, hogy ha 150 millió kilométer hosszú zsineg végére 100kg-os testet kötnénk és 365 nap (kb. 30 millió másodperc) alatt egyszer körülforgatnánk, mekkora röpítőerő hatna rá (alapeset a körmozgásnál).
Ekkora erővel vonzza a Nap a Föld távolságában levő 100kg-os testet. Most már az említett módon kiszámítható Nap tömege.

 

Mekkora a Nap átlagos sűrűsége?

Ha a Nap tömegét elosztunk a Nap köbtartalmával, akkor megtudjuk a Nap sűrűségét.
Mi az eredmény? Sűrűbb anyagból áll-e a Nap, mint a Föld? A számítás szerint a Nap anyagából 1 liter tömeg 1,4 kg. Ha tehát
1 liternyi Nap-anyagot a Földre hoznánk, itt 1,4 kg lenne a súlya.

A Nap anyaga átlagosan másfélszer olyan sűrű, mint a víz, és fele olyan sűrű, mint az alumínium. A Nap anyagának átlagos sűrűsége körülbelül akkora, mint a kokszé.
És a többi égitest sűrűsége?
A Hold közepes sűrűsége 3,3. Ritkább anyagokból áll, mint a Föld. A Naphoz legközelebb keringő Merkur nevű bolygó sűrűsége (5,3)
majdnem pontosan annyi, mint a Földé (5,5).
A Szaturnusz áll a legritkább anyagból, mert közepes sűrűsége (0,7) még a víznél is kisebb, körülbelül olyan sűrű, mint a petróleum.
Melyik bolygó tömeg a legnagyobb?
A Jupiteré, 318-szor akkora, mint a Föld tömege, de a Jupiter sűrűsége csak negyedrésze a Föld sűrűségének.
Mindez valóban elismerésre méltó eredménye a tudománynak. Naprendszerünkön kívül vannak olyan csillagok, amelyek anyagának átlagos sűrűsége több tízezerszer akkora, mint a Földé.

 

Mennyire pontosak az ilyen adatok?

Ha a boltban 1 kilogramm cukrot veszünk, és az eladó ezt 1% pontossággal méri le, az 1 dekagramm hibával meg vagyunk elégedve. - Vajon a bolygók tömegét meg tudjuk-e mérni olyan pontosan, mint üzletben az árut, mondjuk 1%-os pontossággal?
A Jupiter tömegét a körülötte keringő holdak távolságának és keringésidejének ismerete alapján olyan pontosan lehetett kiszámítani, mintha az üzletben 1 kg cukrot csak 1 tizedgramm eltéréssel mérnének le. Ez százszor pontosabb, mint amit említettünk.
De még meglepőbb példát is mondhatunk. Az égitestek tömegének kiszámítására többféle módszer van. Például az egyik bolygó a másikra vonzást gyakorol. Ha keringésük közben egymás közelébe kerülnek, megzavarják egymás pályáját. Ezt megfigyelik a csillagászok. A zavarás annál nagyobb, mennél nagyobb a zavaró bolygó tömege és mennél kisebb a megzavart bolygó tömege.
A Jupiter tömegét annak alapján is kiszámították, hogy mennyire zavarta meg a közelében elhaladó üstökösök pályáját. Ily módon olyan pontosan lehet megállapítani a Jupiter tömegét, mintha egy kilogramm cukrot a gramm századrésznyi pontosságával mérnénk le.

Ekkora pontossággal mérték meg a Jupiter bolygó tömegét Is.

Miből számították
Ennyiszer nagyobbnak találták a Nap tömegét, mint a Jupiterét
Ha ilyen pontosan mérnénk meg 1 kg-ot a hiba ennyi milligram lenne
A Szaturnusz bolygó pályájának megzavarásából
1047,877
120
A Jupiter egyik holdjának mozgásából
1047,49
60
Egy üstökösre gyakorolt zavaró hatásából
1047,35
40
Egy másik üstökös pályájának megzavarásából
1047,176
10

Tehát a csillagászok pontosabban mérik a távoli bolygók tömegét, mint amilyen pontosan a gyógyszerész mér a patikai mérlegen.

 

A többi csillagnaphoz képest kicsi vagy nagy a Nap tömege?

Ki tudjuk-e számítani a bolygórendszerünkön kívül eső távoli csillagok tömegét is? Olyan csillagokét, ahová a fény is csak évek múlva ár el?
Ezek között a csillagok között sok úgynevezett kettöscsillag van, amelyek egymás körül keringenek. Ha ismerjük a közöttük levő távolságot és a keringésidőt, kiszámítható az égitest tömege.
Mekkora tömegű csillagokat találtak?
Rajzoljunk egy gömböt akkora sugárral, amit a fény 30 év alatt fut be. Ezen a gömbön belül megvizsgált 200 kettőscsillag közül kb. 63%-nak a tömege körülbelül akkora volt, mint a Napunké. A csillagok 3%-ának tömege a Nap tömegének kétszerese és tízszerese között volt. A csillagok 34%-ának tömege kisebb volt.
Napunk tehát a normális tömegű csillagok közé tartozik. Az elmondottakból láthatjuk, hogy milyen fontos az égitestek mozgásában a tömegvonzás és a kör kerületén történő mozgás ismerete, és az a tény, hogy a röpítőerő nagysága egyenlő a vonzóerővel. Ezek alapján ki tudtuk számítani az égitestek tömegét.
Ha pedig ezenfelül a csillagászok távcső segítségével megmérik az illető égitestek sugarát, akkor kiszámíthatjuk térfogatukat és sűrűségüket is.
Ezzel átjutottunk a fizika legtöbb gondolkodást kívánó területein. Néha alapos szellemi munkát kellett végezni, hagy az átértett tudás csúcsaira feljuthassunk. De megérte!
Ezentúl könnyebb dolgunk lesz. Ezt bizonyítja a következő fejezet, amelyből megtudjuk, hogy a gép százszor olcsóbban is dolgozhat, mint az izomerő.


Felhasznált irodalom