Miért nem esik a Hold a Földre?
Az égitestek mozgásának törvényszerűségei

 

Szörnyű világkatasztrófa

Egyszer azt kérdezték tőlem, mi történnék akkor, ha valamilyen ok miatt a Hold megállana keringésében?
A Föld és a Hold kölcsönösen vonzzák egymást. Ha a Hold megállana keringésében, a Föld és a Hold elindulnának egymás felé. Próbáljuk meg röviden számításokkal kísérni a feltételezett katasztrófa lefolyását.
Mindenekelőtt tudnunk kell, hogy a Hold a Földtől olyan messzire van, mint a Föld sugarának 60-szorosa, kereken 400.000 kilométer távolságra.
Mivel ismerjük a Föld tömegét, a Hold tömegét is, ezért ki lehet számítani a közöttük ható vonzóerő nagyságát. Ez az erő 20.000 billió tonnasúlynyi erő (egy billió = milliószor millió).
Ha tehát a Hold megállana, akkor a Holdat 20.000 billió tonna súlyerő kezdené mozgatni a Föld felé. De a Földet is ugyancsak 20.000 billió tonna erő mozgatná a Hold felé, mert kölcsönösen vonzzák egymást (ábra).
A Hold és a Föld elindulnának egymás felé. Ez az indulás olyan finoman történnék, hogy észre sem vennénk, hiszen a Föld az első perc alatt mindössze 6 centiméter, a Hold pedig 5 méternyi utat tenne meg.

Ha a Hold megállana, 20.000 billió tonnasúlynyi vonzóerő kezdené el mozgatni a Földet és a Holdat egymás felé. Körülbelül 3 nap múlva a Hold 9.600 méter másodpercenkénti sebességgel ütköznék a Földhöz
De mozgásuk állandóan gyorsulna, mert állandóan erő hatna rájuk. Sőt ez az erő egyre növekednék, mert mennél közelebb jutnának egymáshoz, annál nagyobb lenne a kölcsönös vonzás.
Mennyi idő múlva ütköznének össze?
Körülbelül három nap múlva bekövetkeznék a katasztrófa - elég hamar!
Mekkora sebességük lenne az összeütközés pillanatában?
A Föld végsebessége 120 méter másodpercenként = 432 kilométer lenne óránként, tehát hatszor akkora sebesség, mint az országúton futó gépkocsié. A Hold pedig körülbelül hatszor akkora sebességgel csapódna a Földbe mint amilyen sebesen a leggyorsabb ágyúgolyó halad. A Hold végsebessége másodpercenként 9.600 méter, óránként 34.560 kilométer lenne!

Miért nem történik meg ez a világkatasztrófa? Miért nem zuhan egymásra a Föld és a Hold, ha olyan szörnyő nagy erővel vonzzák egymást?
Azért, mert a Hold keringő mozgást végez a Föld körül. A körpályán vagy egyéb görbe vonalú pályánán mozgó testre pedig röpítőerő hat, amely erő el akarja távolítani a testet a forgási középponttól. Tehát a Holdat a röpítőerő akarja eltávolítani a Földtől, de mivel a Hold megmarad a pályáján, az bizonyítja, hogy a Föld és a Hold éppen akkora erővel vonzzák egymást, mint amekkora az ellenkező irányú röpítőerő (ábra).

A Holdra ható vonzóerő pályájának minden pontjában akkora,
mint az ellenkező irányú röpítőerő.

 

Miért nem esnek a bolygók a Napba?

Ugyanezt mondhatjuk a Nap körül keringő bolygókra is. A bolygók tehetetlenségüknél fogva egyenes irányban mozognának. Ámde a Nap és a bolygók között kölcsönös tömegvonzás hat, amely egymáshoz akarja közelíteni őket. Meggörbül a bolygók pályája, keringeni kényszerülnek a Nap körül. A keringő mozgás miatt a bolygókra röpítőerő hat, amely el akarja távolítani a bolygókat a Naptól.
Ez a két ellenkező irányú erő ugyanakkora a bolygók pályájának minden pontjáben. Ezért maradnak meg a bolygók pályájukon.

 

Ma már ez érthető és világos

De tudták-e mindezt akkor is, amikor először kezdték hirdetni azt, hogy a Föld ás a többi bolygó a Nap körül keringenek?
Nem tudták, mert akkor még nem ismerték sem a keringő mozgás törvényét, sem a tömegvonzást. Ezért érdekes lesz történelmi öszzefüggésben látni ezeket az eseményeket.
Kopernikusz könyve 1543-ben jelent meg. Címe: Az égitestek keringéséről. Ez a könyv forradalmat jelentett az emberek világszemléletében, mert az akkori világfelfogással ellentétben azt állította, hogy a Föld és a bolygók a Nap körül keringenek, tehát nem a Föld a világmindenség középpontja.
Ez a felfogás annyira merésznek látszott, hogy könyvét csak annak hangoztatásával merték kiadni, hogy ez csupán feltevés. Elgondolását még kora legnevesebb csillagászai sem fogadták el. Kepler 60 évvel később, 1610 körül, ennek az elméletnek alapján csodálatosan szép törvényszerűségeket fedezett fel a bolygók mozgásában. De a tudomány még akkor sem rendelkezett a szükséges fizikai ismeretekkel a törvényszerűségek megmagyarázására.
Kepler azt gondolta, hogy a Napból valamiféle erő indul ki. Ez nem engedi őket letérni pályájukról. - De miért mozognak a bolygók? Ezt szintén a Napból kiinduló erőnek tulajdonította. Azt hitte, hogy ez az erő együtt forog a Nappal, mint a kerék küllői a kerékkel, és mozgatja a bolygókat. Nem tudta azt, hogy a bolygók tehetetlenségük miatt maradnak mozgásban.
A bolygók mozgását csak akkor lehetett megmagyarázni, amikor megismerték a kör kerületán történő mozgás törvényeit, ki tudták számítani a röpítőerő nagyságát (Huygens, 1674), és amikor ezen az alapon valószínűsíteni lehetett a tömegvonzást. - Emlékezhetünk arra, hogy a tömegvonzás, a gravitáció elméletét valóban csak tizenhárom évvel később közölte Newton.
Tehát csak 144 évvel Kopernikusz új világképének megszületése után fejlődött a tudomány annyira, hogy az új ismeretek alapján, a fizika törvényeinek segítségével megmagyarázható lett a bolygók keringése a Nap körül.

 

Newton zseniális számítása

De hogyan jutott Newtonnak eszébe az, hogy összekapcsolja a keringő mozgást és a tömegvonzást, és így érthetővé tegye azt, hogy a bolygók valóban szabadon keringhetnek a Nap körül?
Ő is tudta azt, amit mindenki tudott, hogy a bolygóknak a röpítőerő miatt valóban el kellene szakadniok a Naptól - hacsak valamiféle erő ezt meg nem akadályozza.
Már évtizedekkel előbb több kutató gondolt arra, hogy ez az erő csak valamiféle vonzóerő lehet. Sőt már azt is megmondták Newton előtt mások, hogy ennek a vonzóerőnek olyannak kell lennie, amely egymástól 2-szer, 3-szor távolabb levő testek között 4-szer, 9-szer gyengébben hat.
De ha mások előbb megmondották, hogy van vonzóerő az égitestek között, sőt arra is rámutattak, hogyan függ ez az erő a távolságtól - akkor miben áll Newton érdeme?
Newtonnak sikerült először igazolni számítással - mégpedig a Holdra nézve - azt, hogy a röpítőerő éppen akkora, mint a vonzóerő. Tehát abból a feltevésből, amit a többiek nem tudtak igazolni, bizonyosság lett.
Newton idejében ez a számítás legalább akkora szenzációt jelentett, mint az ha az első ember eljutna a Holdra. (Azóta eljutott - 1969. július 21-én 3 óra 56 perckor (UT) lépett a Hold felszínére Neil Armstrong). Newton ezzel a számítással tette lehetővé azt, hogy az emberi szellem behatoljon a csillagvilágba, mint ahogyan évszázadokkal később, a mi korunkban megvan a reményünk arra, hagy a szellemet majd a test is követhesse a csillagok világába.
Lássuk most Newton történelmi jelentőségű számítását, amellyel kimutatta, hogy a Föld és a Hold közötti vonzóerő éppen akkora, mint a Holdra ható röpitőerő.
Mindkét számítást bárki fejben is könnyen elvégezheti.
Számításunkat elegendő, ha a Hold távolságában levő 1 kilogramm tömegre nézve, végezzük el, mert ha 1 kilogrammra igaz az, hogy a vonzóerő egyenlő a röpítőerővel, akkor akárhány kilogrammra nézve igaz.

 

A vonzóerő számítása

Mekkora a Föld vonzóereje a Hold távolségában levő 1 kilogramm tömegre?
Ha ez az 1 kg tömeg a Föld felületén van, akkor a Föld felületén levő 1 kg tömeget 1 kilogrammsúly erővel vonzza.
A Hold a Föld közáppontjától 60 földsugár-távolságban van. De ha 60-szor távolabb megyünk a Föld középpontjától, akkor a vonzóerő
60 . 60 = 3600-szor kisebb, mint a Föld felszínén.
Ezért a Hold távolságában az 1 kg tömegre ható vonzóerő 3600-szor lesz kisebb mint a Föld felszínén. De az 1 kilogrammsúlynak, az 1000 grammsúlynak 3600-ad része 0,28 grammsúly.
A Hold tömegének minden 1 kilogrammnyi részét a Föld 0,28 grammsúlynyi erővel vonzza.

 

A röpítőerő számítása

Most pedig ki kell számítanunk azt, hogy a Hold távolságában levő, tehát 400.000 kilométer hosszú zsinegre kötött 1 kilogrammos testre (pl. kőre) mekkora röpítőerő hat, ha ez a test 27 nap alatt fordul meg egyszer a Föld körül.
A jól ismert alapesetből indulunk ki: ha ez az 1 kilogramm tömegű test 1 méter hosszú zsineg végén van és 1 másodperc alatt fordul körbe 1-szer, akkor a testre ható röpítőerő 4 kilogrammsúly.
De jelenleg a zsineg nem 1 méter hosszú, hanem 400.000 kilométer, és a test nem 1 másodperc alatt fordul 1-szer körbe, hanem 27 nap alatt. Fejben kissé megerőltető lenne alapesetünkből kiindulva ezekre az adatokra átszámítani a röpítőerőt, de ceruzával a kézben igen könnyű. Próbáljuk meg.
Ha alapesetünkben 400.000 km = 400.000.000 méter hosszú lenne a zsineg, akkor a röpítőerő is ennyiszer több lenne,
vagyis 400.000.000 . 4 kgs = 1.600.000.000 kgs. Számítsuk ezt át grammsúlyokba, tudjuk, hogy 1 kgs = 1.000 grammsúly.
1.600.000.000 kgs=1.600.000.000.000 grammsúly.
Ennyi lenne a röpítőerő a Hold távolságában keringő 1 kg tömegű testre, ha az a test 1 másodperc alatt kerülné meg a Földet. Ámde a Hold sokkal lassabban kering, kereken 27,3 nap, körülhelül 2.360.000 másodperc alatt kerüli meg a Földet, ezért a röpítőerő 2.360.000 . 2.360.000 = kereken 5.670.000.000.000-szer kevesebb, mint az előbb számított 1.600.000.000.000 grammsúly erő.
Ezért a Hold távolságában az 1 kg tömegre ható röpítőerő

egyszerűsítés után
Azt az eredményt adta számitásunk, hogy a Hold távolságában levő 1 kilogrammnyi tömegre nézve
Amekkora erővel az 1kg tömeg leszakadni igyekszik pályájáról, ugyan akkora erővel láncolja a Földhöz a gravitációs erő.
Ezért marad meg a Hold a pályáján.

 

Newton kezéből kiesik az írótoll

Amikor Newton számítása közben észrevette, hogy a két adat valószínűleg egyezni fog, akkora izgalom vett rajta erőt, hogy egyszerűen kiesett kezéből az írószerszám. Nem tudott tovább írni, másnak diktálta tovább elgondolását.
Ezt a nagy felindulást érthetővé teszi egy előzmény.
Newton már 20 évvel korábban is megpróbálkozott az előbbi számítássa], csakhogy akkor nem egyezett a két eredmény. Ezért csalódottan feladta azt a nagy gondolatot, hogy a röpítőerőt a feltételezett tömegvonzás egyensúlyozza.
Miért nem egyezett egymással a két eredmény Newton első számításakor? Láttuk, hogy a számítás elvégzéséhez több adat szükséges: a Hold távolsága, keringésideje és a Föld sugara.
A Hold keringésidejét könnyű pontosan megmérni. De sem a Föld sugarát, sem a Hold távolságát nem ismerték még a kellő pontossággal. Newton először ezekkel a kevésbé pontos adatokkal számított. Az eredmény nem volt kielégítő (1666).
De húsz évvel később (1686) a Londoni Tudományos Társaság egyik ülésén előadást hallott arról, hogy Picard (ejtsd: Pikár) francia földmérő pontosabban mérte meg a Föld sugarát. Azonnal megpróbálta ezzel sz új adattal elvégezni az egyszerű számítást, és akkor történt, hogy meglepetésében és izgalmában kiesett kezéből az íróeszköz...
Így sikerült igazolnia a tömegvonzást az égitestek között. A földi testekre nézve is kimondotta a tömegvonzást, bár ezt igazolni nem sikerült még száz éven keresztül.
Így született meg az általános gravitáció törvénye.

 

A mesterséges holdak és az űrrakéták

Ezek után érthető, hogy miért nem esnek le a mesterséges holdak a Földre és miért nem esnek bele az űrrakéták a Napba.
A mesterséges holdakat először rakétával fellövik néhány száz (vagy ezer) kilométer magasra, ahol a légkör már olyan ritka, hogy csak nagyon kevéssé akadályozza mozgásukat, azután a vízszintes helyzetbe, a Föld körüli pályára irányítják őket. Ha ebben a helyzetben a földfelszínhez viszonyított másodpercenkénti sebességük 8 km, akkor körpályán maradnak, és nem esnek le, mert a Föld vonzóerejével egyenlő nagyságú a rájuk ható röpítőerő. Ha sebességük csökken az idők folyamán, akkor egyre közelebb jutnak a Földhöz, a légkör sűrűbb rétegeibe kerülnek, súrlódnak, áttüzesednek, elégnek.
Mennél nagyobb sebességet kap a rakéta, annál hosszabbra nyúlt ellipszis alakú pályán kering a Föld körül. Végül

A Nap vonzza az űrrakétát, emiatt bele kellene esnie a Napba. Csakhogy az űrrakéta sebessége nem irányul a Nap felé. A Nap vonzásával legfeljebb meghajlítja a rakéta különben egyenesvonalú pályáját. Ámde ekkor fellép a röpítőerő, amely szerencsés esetben kiegyensúlyozhatja a vonzóerőt, így a rakéta kering a Nap körül. Minden attól függ, hogy mekkora a rakéta sebessége.

 

A bolygók mozgásának Kepler által felfedezett törvényei

Ha mindezt tudjuk, természetesnek találjuk Kepler törvényét.

1. törvény.

A következő két törvényt magunktól is kitalálnánk. Ha ugyanis bolygó ellipszis alakú pályán kering, akkor a pálya egyik részén közelebb kerül a bolygó a Naphoz, a pálya másik részén pedig távolabb.
Mit gondolunk, változatlan marad-e közben a bolygó sebessége?

Ha a bolygó közelebb kerül a Naphoz, akkor a vonzóerő nagyobb. De hogy a bolygó mégse essék a Napba, azért növekednie
kell a röpítőerőnek is. De a röpítőerő akkor növekedik, ha a bolygó sebesebben mozog a napközelben, mint a naptávolian (ábra).

Ezt mondja ki a Kepler-féle második törvény.

2. törvény.

Ugyanilyen könnyen következtethetünk a harmadik törvényszerűség lényegére is.
Tudjuk, hogy a Mars távolabb kering a Naptól, mint a Föld. A Jupiter, a Szaturnusz pedig még távolabbi keringenek.
Vajon ha a bolygó távolabb kering a Naptól, mint a Föld, akkor keringési ideje nagyobb vagy kisebb, mint a Föld keringésideje?
A felelet nem nehéz, ha kissé gondolkodunk.
Ha távolabb volna a bolygó a Naptól, akkor kisebb az 1 kilogramm tömegre gyakorolt vonzóerő, tehát kisebb röpítőerő is elegendő ellensúlyozására - ezért a bolygó lassabban kering, mint a Föld (ábra).

Ha egy bolygó a Naptól háromszoros földtávolságban kering, akkor a keringési ideje 5,2 év. A bolygó sebessége pedig a Föld sebességének 0,58 része.

3. törvény.

Így például a Mars 1,52-szer távolabb van a Naptól, mint a Föld.
A Mars keringési ideje 1 év 322 nap. A Neptunusz 30-szor van távolabb, keringési ideje 164 év 280 nap.

 

Felhasznált irodalom